PHYSUN1601 Physics I: Mechanics and Relativity
受け方
式を写しながら話を聞いた方が良さそうだなblu3mo.icon
手書きノートの方が式やgeometryの細部に意識が向いて良さそう
基本kakeruに書くスタイルでやってみるかな
Final Summary
- binomial expansion、逆に忘れてたな
- a=kxの形式のやつ、ぱらめーたの関係を暗記しておきたい
- polar coordinate accerelation
- $\dot{\dot{r}}=r{\dot{θ}}^2$
- 3DにおけるEnergyのintegrationなど、まだあやしいところあるな
- line intetgralで良いの?
- separableじゃない3D mechanicsは解けない
- classical turning point
- E=K+Uで、if E=U(r) then K=0, v=0
- なるほど〜〜、理解した
- inertial frame、分からん
- あ〜、別に物理はどんなframeでも成り立つが、同じintertial frameならForceの値が一緒だということか
- Mass Flow
- Δtを扱ってそれをinfinitesimalにするやつ、復習必要だな
APplication of Energy
実際にx=f(t)の式を解かなくても、Forceとvelocityの式からenergyの式を導出すれば動きのイメージが持てるのが嬉しいところ
turning pointとかを見れば色々分かるので嬉しい
Energy
https://kakeru.app/d06320d6871c97db3dea76de48df3f5d https://i.kakeru.app/d06320d6871c97db3dea76de48df3f5d.svg
forceがfunction of positionの時、↑が成り立つ
= あるxにおけるforceが常に同じな状況
ex: gravity, SHM, etc
a(x) = kxみたいなやつなら該当するね
TODO
energy conservationの導出確認
conservative forceの意味、確認
F=-dU/dxのminus signの意味を確認
arbitrarynessを確認
それなのにE=mc2が成り立つの、不思議
一応relativityでここの説明はあるらしい
Applying Newtonial Mechanics
ある状況にapplyする時、constraintがありがち
例えば、机に置かれた物は$ y > 机の高さという条件がある
例えば、紐に繋がれているボールには紐の長さより遠くに行けないという条件がある
そして、constraintがある時、それらには絶対assosiated forceがある
normal force, centrepetal forceなど
Ex: Normal Force:
前提: surfaceがあるとき、$ \vec v \cdot \hat n=0
ここから、$ \vec a \cdot \hat n=0, $ \vec Σ(F \cdot \hat n)=0
なので、足し合わせて0にならない分を補うのがNormal Forceになる
なるほど〜blu3mo.icon
Ex: Tension Force
lengthがconstantというconstraintから、二つのTension Forceの存在が導ける
$ m_{rope}a=\vec F_{T1}+\vec F_{T2}
その上で、ropeがmasslessという仮定から$ \vec F_{T1}+\vec F_{T2}=0 \implies |F_{T1}|=|F_{T2}|=Tが導ける
あ、ropeがmasslessだから、どんなにropeがaccerelateしていても二つのforceが0と言えるのかblu3mo.icon*3
じゃなかったらropeのaccerelationのforceが他に影響してしまう、確かに
Ex: sprint
$ \ddot{ x} = -kxというconstraint?
違うか、$ F_s=-kyというのは$ F_g=-mgみたいな感じで導入する感じなのね
これはconstraint forceではない
これをtransformした結果、$ ma=-kyという式が得られる
これは、gravity forceがかかっても同じ挙動をするのが導ける
Constraint Forceは観察から導き出すものなのね
現実的な話として、Constraint ForceはLimitがありがち
紐は切れるし、机も割れる
frictionだとこれをexplicitに扱う
Procedure
constrantを書き出す
Free-body diagramを描く
Newton's second lawで力とaccerelation（=constraint）の関係を書き出す
計算が楽な座標軸を決めて、それぞれの方向に関して整理する
この時に、constraint forceを消せるなら消す
Galilean
Principle of relativity
newtons laws holds on all intertial frames (transformed galileanly)
あくまでもlawが成り立つだけ
F, aの値は一意に定まる
けど、velocityのmomentumの値はframeによって異なるよな
でもΔvやΔp=Impulseは一定か、だからFやaの値から一意に導けるのねblu3mo.icon*3
反例っぽい奴
$ F=-mbv (drag forceがvと関係してしまっている）
ただ、これは実は不正確
どのframeでも成り立つようにするなら$ F=-mb(v-v_0)（v_0=空気の速度）
空気がoriginに対して移動しないと仮定した時のみ、F=-mbvと書ける
どのinterntal frameでも成り立つ式を書くなら、Fと関わるのはΔvであってvではない
なるほど〜〜blu3mo.icon*3
Impulse
https://kakeru.app/f19919fbe3d32406a7254c7be71a98d7 https://i.kakeru.app/f19919fbe3d32406a7254c7be71a98d7.svg
$ Δp = I(t)
それはそう、Forceの面積がpの差分
Newton's Law
前提として、
Inertial Frame: frame where v = constant when there is no interaction with other paticle
これは、あるparticleにつき無限にある（garrelian transformationをしてもacc.は変わらないので）
Inertial Frameの中でのみNewtons Lawsが成り立つ
今までnewton law 1だと思ってたのは実は成立条件だったのかblu3mo.icon*3
newton's lawがpolar coordinateで成り立たない理由はこれ
その上で、Forceというstate variableを考える
数学から物理を構築している感じがあるblu3mo.icon*2
$ \vec F=m\vec a
Fとaいうstate variableは比例する、constantはmというstate variable
ここでのFは、interaction with other particleの合計のnet force?blu3mo.icon
https://gyazo.com/10c6baad004f015b7010ef330056eb4a
単純に全4タイプのForceのベクトルの合計取るのは違う、と
え〜〜〜〜blu3mo.icon
relativity考えると厳密にadd upできるのは、electromagnetic forceだけだと
ohblu3mo.icon
ただ、newtonian physicsであれば、gravitational & electromagneticはadd upできる
今まではこれをやっていたが、approximationであるのは知るべきblu3mo.icon
Third Law: $ F_{21}=-F_{12}
これらは現実のobservationから導くhypothesisかな
そうみたいblu3mo.icon
Law 2
https://kakeru.app/dc64267cea87b6d8c9eddbba86a1f8cd https://i.kakeru.app/dc64267cea87b6d8c9eddbba86a1f8cd.svg
F=dp/dt自体は相対論でも成り立つ
pの定義が相対論だと変わるので、F=maは成り立たなくなる
Translation
https://kakeru.app/e06a2bb94191cd1ba95a1de65345fca1 https://i.kakeru.app/e06a2bb94191cd1ba95a1de65345fca1.svg
galilean space: 等速でoriginが移動するspace
上の式の通り、そのspaceにおけるaccerelationは変わらない
ここで、どのoriginでもtは変わらないと言う前提がある
それが崩れるのがspecial relativityの話か、なるほどblu3mo.icon*2
Plane Polar Coordinates
x=rcosΘ, y=rsinΘ
まだnewton lawsの話はしていなくて、positionの記述の話しかしていないから、どんなcoordinateを使おうと何も話は変わらないのか
newton lawで、「ものは一定velocityで動き続ける」とか言い出すと、それはcartesianでしか言えなくなるのかな
例によって微分して$ \vec vを出したい
$ \vec v = \dot r\hat r+r\dotθ\hatθになる
これを微分してaを出したい
仮にr=Rでconstantとすると、constant magnitudeのaccerelation（$ \hat rと反対方向）が得られる
$ \vec a = -Rω^2\hat r
あ、これ知ってるやつじゃんblu3mo.icon*2
一般化すると、
https://kakeru.app/25705ff8a20f1572c1f661c374437eee https://i.kakeru.app/25705ff8a20f1572c1f661c374437eee.svg
これのそれぞれに直感を持ちたいblu3mo.icon
例えば、回転するボールをlet goした時に、accerelationがないのはどう説明できる?
ここの一連の流れ、復習して自力で説明できるようになりたいblu3mo.icon*3
Vector Accrelation
実はaccerelationをanalyticallyに解くことはできない
$ a_x(x,y,t)とa_y(x,y,t)があっても、xを出せないということかな
$ a_x(x,t)とa_y(y,t)であれば、separableなので解ける
まあでも限定的ケース、
逆に言えば、今までxとyに分解して物理できてたのはそういう限定的ケースだったからなのかblu3mo.icon*2
この時は、x=f(t)とy=f(t)が取れるので、うまく変形すればy=f(x)が作れる
trajectoryの関数がわかる
$ a_r(r,θ, t)とa_θ(r,θ, t)に分けるのはできる?
Metrics
実は、三平方の定理で距離が取れるのは特別なケース（この世界）のみ
それベースでvectorのdot productも定義されてるので、違う世界ならvector productも違う
ここの式変形追いきれなかったので復習blu3mo.icon
Curve Distance
$ ds=|d\vec r|=|\vec v|dt
なので、$ s=\int^{t_b}_{t_a}|\vec v|dt
これを $ s=⨐^{t_a}_{t_b}ds、と書く
Poisition
原始的な定義として、affine space
ただ点が複数ある状態
基準がないのでpositionの足し算はできない
ただ、点同士の差分=距離は取れる
arbitaryなoriginを定義する
すると、position vector (positionとoriginの差分)が作れる
やっとvectorが得られたので、足し算などが出来る
Plane Normal
Vector Derivatives
Vectorと、他のある基準vectorのΘの変化
Important: 基準次第で値は変わるが、Θの増加は常に左回転を意味する
（right handed coordinateにおいて）
component別に書くやり方(x,y,z)を微分しても、肝心な距離・角度情報がないのでビミョい
ので、$ \vec v =|v|\hat vを微分したい
$ \frac{d}{dt}\vec v=\dot{|v|}\hat v+|v|\dot{\hat v}
これは、directionしか変化しない/magnitudeしか変化しないケースを考えればわかりやすい
一定の方の項は、derivative=0なので消える
$ \dot{\hat v}について:
$ \dot{\hat v}=\dot θ \cdot (\hat n \times \hat v)
unit vectorのderivativeは、unit vectorではないblu3mo.icon*3
これは次元考えればそうで、そもそもd/dt unit vectorの単位は1ではなく1/timeになる
https://kakeru.app/6817a4562840ad88baa4f40a99a006ee https://i.kakeru.app/6817a4562840ad88baa4f40a99a006ee.svg
結果として、$ \hat vのderivativeは、vとperpendicular = 向きしか変えない
分かりやすい
3.n 3D Kinematics
Vectorをただの複数の数字の束と捉えるのは良くない
あ、そう捉えていたblu3mo.icon
なぜ..?
大事な事: starting pointはなく、差分しか表さない
それはそうblu3mo.icon
矢印とかは、Vectorのrepresentationの一つ
$ \hat Vは、Vのunit vector $ = \frac{V}{|V|}
大事なのは、これはdimentionless
すなわり、$ \vec V=|V|\hat Vと表す時、|V|のdimentionは$ \vec Vと同じblu3mo.icon
これちょっと非自明かも
Cross product
$ n=v_1 \times v_2を考える
cross productの結果の角度のイメージ、v1からv2の角度が正なら、平面からのnormalの角度も正（つまり前に飛び出てくる）、みたいなイメージを持てばright hand ruleとかいらない
$ n=\hat v_1 \times \hat v_2なら、$ |n|=\sin\theta
もしΘ=90なら、$ n=\hat v_1 \times \hat v_2 = 1で、また新しいunit vectorが出来るblu3mo.icon*2
xとyのunit vectorのcross productをとると、zのunit vectorが生える
3: 1D Kinematics
とりあえずxというstate variableの一次元を考える
[x] = length
0の位置とか座標系の選択はarbitaryであって、それによって物理は変わらん
そりゃそうだけど、それを数学的に示せるの大事そうblu3mo.icon
そこから微分してv, 2回微分してa
そりゃそう
$ f(x)=3x
なので、$ x(t)=x(t_0)+\int^t_{t_0}dt'v(t')だし、$ v(t)=v(t_0)+\int^t_{t_0} dt' a(t')
それもそう、基本
高校物理ではintegralの代わりに$ x=v(t-t_0)と書いていた
しかし、それはvがconstant かつ x(t_0) = 0の時だけblu3mo.icon
もしくは$ 〈v〉=\frac{1}{Δt}\int^t_{t_0}dt'v(t')とaverage vを定義して、それ$ x=〈v〉Δtとかもいえる
なので、definite integralの上限下限とかをちゃんと意識せいというのが言いたそう
確かに結構今まで曖昧に数学でやってたかも
実際first order differencial equationとかで下限雑にやると間違えるblu3mo.icon*2
Drag Accerelation
$ a =-kvとか、$ a =-g-kvとすると、vはterminal velocityで収束するという話
first order dif eqで解くと、$ v=v_0e^{-bt}になる
復習blu3mo.icon
quadratic dragの話、授業で扱ってないので復習すべき
-gがあるときのdrag accerelationの計算
計算すると、初期のvがなんであろうと同じterminal velocityに収束する事が分かる
2nd Derivative
$ a=\frac{d^2x}{dt^2}=f(x)（f(t)ではない）
ここからaをtで表現したい時、右辺をIntegrateはできない
tの関数ではないので
これは、energy methodを使うと楽にとけるが、それは後でやるらしい
2nd Derivativeの特殊ケース$ a=+Kx,$ a=-Kxを考える
$ a=-Kx
復習blu3mo.icon
色々式変形をしているのを改めて追う
これに合う唯一の式を考えると、x=asin()+bcos()になる
変形すると、simple harmonic motionになるblu3mo.icon*3
SHMを逆から導出していたのか
$ a=+Kx
これはe^xの形になる
実はこれをhyperbolyc sin/cosで表すと-Kxと同じ様な形になる
すげ〜blu3mo.icon*2
20220913
この授業、内容を自分で自由度高いノートで整理するのが良さそうなのでgoodnotesで書く..?
いや、そもそも元のが強いからいいか
20220908
20220906
初回前
coordinate transformations and symmetries, approximationあたりを大事にしていそう
本質理解大事にしているみたい
While I am very familiar with the complexities of being an
undergraduate in college, I beg you, please do not allow yourself to evolve
into a mode where you are starting and trying to complete reading or problem
sets at the last minute. If you allocate time each day to read and work through
the material in the notes and start the homework before recitations so you
can take maximal advantage of the interaction with the TAs, I have every
confidence that you can succeed in the class. However if you do not dedicate
the required time and attention, no matter how effective I am and/or the TAs
are, it will be difficult for you to succeed.
はい...
課題
Fri -> Next Sunday 9日ある
教科書
kleppner and kolenkerのやつがある
berkeley physicsとmitのもある
course notesを一応mainのやつとして扱う
計算機
授業/試験ではいらない
宿題でいるかも?
point particles
$ N_{DOF}
チョークとかprotonとかはpoint particleではないが、そう仮定することは当然ある
electronとかは本当にpoint particle
へ〜〜blu3mo.icon
物理で扱うquantities
physical constant
なぜか決まってるやつ
state variables
大体物理はこれらの関係を扱う
それ以外のやつがstate variableとどう違うのか分からんblu3mo.icon
term
coordinate vs position
coordinateはvaried、positionは特定の一つ